3235
правок
Изменения
Нет описания правки
[[Image:Tabl_googl_doks_1.jpg|left]]Несмотря на то, что формула сложных процентов доступна пониманию ученика средней школы, усвоившего закон геометрической прогрессии, практика потребительского кредитования подтверждает необходимость дальнейшего укрепления финансовой грамотности заемщиков. <br>
Модель процентного роста и методы оценки потоков платежей давно запрограммированы на финансовых калькуляторах и в электронных таблицах как встроенные функции. <br>
Их имена: PV, FV, PMT стандартны - как SIN или COS для тригонометрии. <br>
С появлением электронных таблиц воплощено в жизнь наше интуитивное восприятие компьютера как большого калькулятора. Теперь эти программы есть и на смартфонах, так что мы можем отправляться в деловой поход, вооружившись портативным вычислительным устройством. <br>
Доступность Интернета и развитие распределенных облачных вычислений расширяет функционал наших маленьких компьютеров. <br>
Читателю предлагается элементарный справочный материал по аннуитетным расчетам с использованием финансовых функций облачного сервиса Таблицы Google Docs. <br>
Ранее было опубликовано пособие по технике финансовых вычислений на MS Excel, дающее ключ к применению стандартных финансовых функций, поспешно локализованных с кириллическими идентификаторами.<br>
<br>
== Определение аннуитета ==
'''Аннуитетом ''' называется последовательность платежей одинакового размера, поступающих через равные промежутки времени (равномерная рента). Период времени между двумя соседними платежами является расчетным для начисления процентов за использование заемных средств. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_2Tabl googl doks 2.jpg]]<br>
''Рис. 2. Тип аннуитета задает распределение платежей по границам процентных периодов.''<br>
<br>
Конечная последовательность платежей одинакового размера называется срочным аннуитетом. Срок n соответствует количеству платежей. В зависимости от момента поступления первого платежа различают два типа аннуитетов — пренумерандо (первый платеж поступает в начале первого периода) и постнумерандо (первый платеж поступает в конце первого периода). Аннуитет постнумерандо называют «обыкновенным».<br><br>
== Будущая стоимость аннуитета ==
Будущая стоимость (FV — англ. Future Value) равномерного потока платежей с учетом ставки процента за каждый период между платежами находится как сумма геометрической прогрессии <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_3Tabl googl doks 3.jpg]]<br>
где A — член аннуитета (размер одного платежа), R — процентная ставка, n — число платежей (и число процентных периодов).
<u>Пример 1. </u>Согласно условиям договора, 5 платежей по 3 доллара регулярно приходят по схеме пренумерандо. Получатель аннуитета (кредитор) использует средства с доходностью R = 8% за период между платежами. Будущая стоимость одного платежа A=$3.00 через 1 расчетный период по ставке 8% составляет $3.00*1.08=$3.24. Через 2 периода по формуле сложных процентов $3.00*1.08*1.08=$3.24*1.08=$3.50. Какова будущая стоимость всего потока платежей в конце последнего периода? Детальный расчет будущей стоимости каждого платежа и всего аннуитета развернут на рис. 2. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_4Tabl googl doks 4.jpg]]<br>
''<br>''
''Рис. 3. Вычисление будущей стоимости аннуитета по частям.''
Ответ: В условиях примера 1 поток платежей пренумерандо позволяет их получателю накопить сумму $19.01. В случае аннуитета постумерандо будущая стоимость достигает только $17.60 (все платежи «недорасли» бы еще один период).<br><br>
== Современная стоимость аннуитета ==
<u>Пример 2</u>. Расчет современной (текущей, приведенной, дисконтированной) стоимости каждого из пяти периодических платежей и всего потока по ставке R=8% за период между платежами для аннуитета пренумерандо представлен в таблице на рис. 4 в варианте приведения дисконтирующими множителями к начальному моменту времени (отсчет ведется от 0), когда вносится первый платеж.
Ответ: Текущая стоимость данного аннуитета равна $12.94. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_5Tabl googl doks 5.jpg]]<br>
''Рис. 4. Вычисление современной (текущей) стоимости аннуитета по частям.''
<br>
Современная стоимость (PV — англ. Present Value) срочного аннуитета (n < ∞) аналически оценивается как разница современных стоимостей двух бесконечных аннуитетов, моменты начала которых не совпадают. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_6Tabl googl doks 6.jpg]]<br>
Здесь использован результат из элементарной алгебры — современная стоимость бесконечного аннуитета PV (n = +∞) представляет собой сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/(1+R), которая при R < –2 или R > 0 сходится к A/R:
Для вывода рабочей формулы современной стоимости срочного аннуитета из современной стоимости вечной ренты на момент времени 0 вычитается современная стоимость ее клона — вечной ренты, начинающейся на n периодов попозже. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_7Tabl googl doks 7.jpg]]<br>
Вторая стоимость численно равна первой, но относится к моменту времени n, поэтому перед вычитанием ее необходимо дисконтировать по той же процентной ставке R на n расчетных периодов в прошлое. Эквивалентная будущая стоимость срочного аннуитета есть.<br>
[[Image:Tabl_googl_doks_8Tabl googl doks 8.jpg]]<br>
В рассмотренном выше примере 1 верно $19.01=$12.94*1.08^5=$3.00*FVIFA(8%,5).<br><br>
== Процентные множители (финансовые коэффициенты в общепринятой нотации) ==
FVIF(R,n) — англ. Future Value Interest Factor - процентный множитель будущей стоимости (коэффициент наращения). <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_9Tabl googl doks 9.jpg|center|Tabl googl doks 9.jpg]]<br>
FVIF(R,n) показывает, какую сумму можно нарастить из одной исходной денежной единицы благодаря регулярному присоединению сложных процентов по ставке R в течение n процентных периодов (срок наращения).
PVIF(R,n) — англ. Present Value Interest Factor — процентный множитель современной стоимости (коэффициент приведения). <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_10Tabl googl doks 10.jpg|center|Tabl googl doks 10.jpg]]PVIF(R,n) показывает, какую сумму достаточно было положить в банк на депозитный счет, чтобы в результате регулярного присоединения сложных процентов по ставке R в течение n процентных периодов получить ровно одну денежную единицу.
FVIFA(R,n) — англ. Future Value Interest Factor of Annuity — процентный множитель будущей стоимости (коэффициент наращения) аннуитета. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_11Tabl googl doks 11.jpg|center|Tabl googl doks 11.jpg]]FVIFA(R,n) показывает, какую сумму можно накопить, постоянно получая выплаты единичного размера в течение срока n при регулярном начислении сложных процентов по ставке R за каждый период на уже аккумулированные денежные средства.
PVIFA(R,n) — англ. Present Value Interest Factor of Annuity — процентный множитель современной стоимости (коэффициент приведения) аннуитета. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_12Tabl googl doks 12.jpg|center|Tabl googl doks 12.jpg]]PVIFA(R,n) показывает, какую сумму достаточно инвестировать в начальный момент времени, чтобы потом регулярно в течении срока, состоящего из n процентных периодов получать платежи единичного размера с учетом регулярного начисления на оставшиеся денежные средства сложных процентов по ставке R за каждый расчетный период.<br><br>
== Большое уравнение и синтаксис аннуитетных функций ==
Производителями электронных таблиц для аннуитетных финансовых функций и их исходных аргументов были зарезервированы такие стандартные идентификаторы:
RATE (от англ. interest Rate) — процентная ставка за один период, соответствует R в общепринятой нотации;
NPER (от англ. Number of PERiods) — срок (измерен числом процентных периодов) соответствует n в общепринятой нотации;
PMT (от англ. PayMenT) — размер платежа (член аннуитета), соответствует A в общепринятой нотации;
PV (от англ. Present Value) — современная стоимость;
FV (от англ. Future Value) — будущая стоимость;
type — тип потока платежей (по умолчанию 0 — постнумерандо, 1 — пренумерандо).
Для расчета неизвестных параметров аннуитета по набору известных используется большое уравнение (неявное соотношение): <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_13Tabl googl doks 13.jpg]]<br>
Разрешимость этого большого уравнения обеспечивается использованием противоположных знаков перед значениями исходных данных о суммах прихода (знак +) и расхода средств (знак -).
Левая часть неявного соотношения собрана из трех слагаемых: расчет будущей стоимости наращением единственной начальной суммы PV по формуле сложных процентов, расчет будущей стоимости наращением аннуитета PMT (с учетом типа), будущая стоимость.
При такой форме организации вычислений нулевые значения неизвестных параметров играют роль триггеров (обнуляется лишнее по контексту слагаемое). Например, указав аргумент PMT=0, пользователь получит расчет по финансовому обязательству без промежуточных платежей.<br><br>
== Использование функции FV(RATE; NPER; PMT; PV; type) ==
<u>Пример 3</u>. Для расчета будущей стоимости вклада объемом 3 млн.руб. на 4 года по ставке 8% годовых вводим в свободную ячейку формулу, содержащую обращение ко встроенной функции =FV(0.08;4;0;-3). Ответ: +4 млн.081тыс.466руб.88 коп.
<u>Пример 4</u>. Чтобы найти будущую стоимость потока 888 ежемесячных платежей по 65 долларов по номинальной годовой ставке 6% вводим формулу =FV(0.06/12;888;-65). Ответ: +1 млн.076тыс.494долл.03цента.
Для определения коэффициента наращения срочного аннуитета из 9 единичных платежей по ставке 2% можно использовать формулу =FV(0.02;9;-1), результат 9.7546. <br>
[[Image:Tabl_googl_doks_14Tabl googl doks 14.jpg]]<br>
''<br>''''Рис. 5. Таблица финансовых коэффициентов FVIFA(ставка; NPER).''<br>
Образец построения справочной таблицы значений коэффициента FVIFA с двумя входными параметрами — процентная ставка и число периодов дан на рис.5. Знаки $ в составе адресов в формуле == Использование функции PVFV(RATED$1;NPER$A10;PMT;FV;type-1) превращают ссылки на влияющие ячейки в абсолютные (такие ссылки при копировании не сдвигаются) ==. В данном случае значения процентных ставок для таблицы берутся из первой строки, а срок — из колонки А.<br><br>
<u>Пример 65</u>(вариант примера 4). Для расчета современной стоимости вклада, дорастающего в будущем до 100 рублей за 10 месяцев Чтобы найти современную стоимость потока 888 ежемесячных платежей по 65 долларов по номинальной годовой ставке 486% годовых вводим вставляем в свободную ячейку табличную формулу, содержащую обращение с обращением ко встроенной функции =PV(0.4806/12;10;0888;-10065). Это задача без промежуточных платежей. Ответ: +67руб12тыс.56 коп (см844долл.ниже рис95центов.6)Можно проверить умножением на коэффициент наращения 1,005^888. <br>
[[Image:Tabl googl doks 17.jpg]]<br>
Так, для примера 7 в первом платеже =IPMT(0.04;1;10;-81.11)=3.24р.(=0.04*81.11), а остаток долга (база новых процентов) после внесения первого платежа снизится на = Использование функции NPERPPMT(RATE;PMT0.04;PV1;FV10;type-81.11) =6.76р. Проверка: 3.24р.+ 6.76р.=10.00р.
Для любого периода period от 1 до NPER верно PMT=IPMT(period) + PPMT(period).<ubr>Пример 9</ubr>. Найти срок удвоения стоимости банковского вклада по ставке 5% годовых. Вводим =NPER(0,05;0;;-1;2). В качестве пары последних аргументов в данном случае можно взять любые два числа с противоположными знаками, первое из которых вдвое меньше второго по модулю. Ответ: 14.2 года. Проверка: 1,05^14=2.
<u>Пример 9</u>. Найти срок удвоения стоимости банковского вклада по ставке 5% годовых. Вводим == Использование функции RATENPER(NPER0,05;PMT0;PV;FV-1;type;guess2) . В качестве пары последних аргументов в данном случае можно взять любые два числа с противоположными знаками, первое из которых вдвое меньше второго по модулю. Ответ: 14.2 года. Проверка: 1,05^14==2.
<u>Пример 10</u>. Молодой человек c пятнадцатилетнего возраста в конце каждого месяца регулярно вносит по 15р. на сберегательный счет в банк, начисляющий на каждый платеж сложные проценты по номинальной ставке 15% годовых. В общем случае не существует явного аналитического выражения для решения аннуитетной формулы каком возрасте этот человек сможет стать миллионером (многочлен произвольной степени при гладком ходе событий, приводящих к результату)? Используем =NPER(0,15/12;-15;;1000000) относительно RATE, поэтому процентная ставка оценивается итеративно=541. Электронные таблицы и финансовые калькуляторы используют численный алгоритм подбора корня неявного уравнения, так что «расчет» ставки аннуитета для пользователя происходит быстро49, как по точной формулев месяцах. По умолчанию последний необязательный аргумент guess равен 10%, он используется как начальное предположение на входе встроенного алгоритма подбораОтвет: 15+542/12=60 лет.<br><br>
<u>Пример 1311</u>. Кредит на сумму 800 тыс.руб. погашается 15 платежами по 75 тыс.руб. Какова доходность банкаПри какой процентной ставке банковский вклад удвоится за три года? Введем Применим формулу без промежуточных выплат =RATE(153;0;-751;8002). Ответ: 4.626% за расчетный периодгодовых. <br>
<u>Задание для самостоятельной работыПример 12</u>. Составьте план погашения кредита При какой процентной ставке молодой человек (смпример 10) станет миллионером к 50 годам? Используем формулу =RATE(25*12;-15;;100000). рисОтвет: 1.7) 56% в электронных таблицах с помощью:<br>месяц, то есть почти 19% годовых.
а) арифметических расчетов; <br>
б) финансовых функций. <br>
'''''На портале www.cfin.ru она расположена [http://www.cfin.ru/finanalysis/math/agd.shtml здесь] Автор - Смирнова Елена Юрьевна<br> Преподаватель НИУ ВШЭ'''''<br>
'''''Данная публикация размещена в «Энциклопедии менеджера E-xecutive.ru» в рамках сотрудничества с проектом www.cfin.ru'''''
'''''На портале www.cfin.ru она расположена [http://www.cfin.ru/finanalysis/math/agd.shtml здесь]'''''<br>
[[Category:Финансы]]