Прогноз продаж статистическим методом - История изменений

Olga molodets в 22:00, 18 августа 2012

2012-08-18T22:00:24Z

Olga molodets: Новая страница: «== Введение == В этой статье мы на примере рассмотрим один из статистических методов прогно...»

2012-08-18T21:58:12Z

Новая страница: «== Введение == В этой статье мы на примере рассмотрим один из статистических методов прогно...»

Новая страница

== Введение ==

В этой статье мы на примере рассмотрим один из статистических методов прогнозирования продаж. Мы будем прогнозировать прибыль, а точнее размер месячной прибыли. Совершенно аналогично можно делать прогнозы и других показателей продаж: выручка, объем продаж в натуральных единицах, количество сделок, количество новых клиентов и т.д.

Описанный в статье метод прост (относительно, конечно) и не привязан к специализированным программам. В принципе, для составления прогноза достаточно было бы бумаги, карандаша, калькулятора и линейки. Однако, это очень трудоемкий способ, поскольку в процессе возникает много рутинных вычислений. Поэтому мы будем использовать Microsoft Excel (версии 2000).

Помимо простоты у метода есть еще один важный плюс: для прогноза требуется небольшая статистика. Сделать прогноз на 2-3 месяца вперед можно, если есть статистика хотя бы за 13-14 месяцев. Ну а большая статистика дает возможность и прогноз делать на больший период. 

== Сбор и подготовка статистики продаж ==

Прогнозирование начинается, конечно, со сбора статистики продаж. Здесь нужно обращать внимание на то, чтобы все сделки были более-менее одного «масштаба», и чтобы количество сделок в месяц было достаточно большое.

Например, розничный магазин. Даже в небольшом магазине в месяц могут делаться тысячи и даже десятки тысяч покупок. Сумма каждой покупки, по сравнению с месячной выручкой, весьма мала — 0,0..01% от выручки. Это хорошая ситуация для прогнозирования.

Если прогноз делается для компании, работающей на корпоративном рынке, то нужно следить, чтобы количество сделок в месяц было хотя бы не менее 100, иначе для прогнозирования нужно применять другие методы. Также, если в статистике продаж встречаются крупные сделки, с суммой, например, около 10% от месячной выручки, то такие сделки надо исключать из статистики и рассматривать отдельно (опять же другими методами). Если крупные сделки не исключить, то они создадут в динамике «выбросы», которые могут сильно ухудшить точность прогноза.

Далее мы будем рассматривать пример со статистикой из таблицы 1. На рисунке 1 данные таблицы представлены в виде графика.

По этим данным мы будем составлять прогноз на 12 месяцев вперед.

''Таблица 1. Помесячная статистика прибыли, тыс. руб. Для удобства все месяцы (периоды) пронумерованы подряд, с 1-го по 19-тый.'' 

[[Image:1PP-1.JPG]] 

Существуют две основные модели временного ряда: аддитивная и мультипликативная. Формула аддитивной модели: Yt = Tt + St + et Формула мультипликативной модели: Yt = Tt x St + et Обозначения: t - время (месяц или другой период детализации); Y - значение величины; Т — тренд; S — сезонные изменения; е - шум. Разница между моделями хорошо видна на рисунке 2, где приведены два ряда, с одинаковыми трендами, один ряд — по мультипликативной модели, другой — по аддитивной.

''Примечание. Могут встречаться такие показатели продаж, у которых сезонные колебания практически отсутствуют. '' 

[[Image:1PP-2.JPG]] 

''Рис. 2. Примеры рядов: слева — по аддитивной модели; справа — по мультипликативной.''

В нашем примере мы будем использовать мультипликативную модель.

Для каких-либо других данных, возможно лучше подошла бы аддитивная модель. Узнать на практике, какая модель подходит лучше, можно либо интуитивно, либо методом проб и ошибок. Выделение тренда

В формулах моделей рядов динамики '''(Yt = Tt + St + et и Yt = TtSt + et)''' фигурирует тренд Tt, такой тренд мы будем называть «точным».

В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд Tt может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт [5] в списке литературы).

Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения приближенного тренда — сглаживание ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.

В рядах с детализацией по месяцам сглаживание нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего среднего с периодом сглаживания 12 месяцев: 

[[Image:1PP-3.JPG]] 

Где '''Mt''' — значение скользящего среднего в точке t; Yt — значение величины временного ряда в точке t.

*''Примечание. Очень редко, но все-же бывают динамики продаж, где длина полного период не только не равна году, но и «плавает». В таких случаях колебания, видимо, вызваны не сезонными изменениями, а какими-то другими, более мощными факторами.''

Обратите внимание: поскольку мы вычисляем некоторый средний тренд за последние 12 месяцев, то в поведении приближенного тренда по сравнению с точным, происходит как бы запаздывание на 6 месяцев. Не смотря на то, что тренд, полученный методом скользящего среднего — это не точный, а приближенный (да еще и с запаздыванием), он вполне подходит для нашей задачи.

Прологарифмируем уравнение мультипликативной модели, и если шум et не очень большой, то получим аддитивную модель. 

[[Image:1PP-4.JPG]] 

''Рис. 3. График прологарифмированной величины показателя и тренда Ми скользящего среднего по 12-ти месяцам. Слева на одном графике и величина и тренд. Справа — тренд в увеличенном масштабе. По оси X — номера периодов.''

Примечание. Если темпы динамики небольшие, скажем, 10-15% в год, то и с мультипликативной моделью можно работать как с аддитивной (не логарифмирую).

== Прогноз тренда ==

Тренд мы получили, теперь нужно его спрогнозировать. Прогноз можно бы было получить, например, методом экспоненциального сглаживания (см. [4]), но поскольку мы хотим прогнозировать максимально простым методом, то остановимся на обычной параметрической аппроксимации. В качестве функций приближения используем следующий набор:

Линейная функция: y = a + b × t.

Логарифмическая функция: y = a + b × ln(t)

Полином второй степени: y = a + b × t + c × t2

Степенная функция: y = a × tb

Экспоненциальная функция: y = a × eb × t

Хорошо бы было дополнить набор и другими функциями, но для этого возможностей Excel недостаточно, нужно использовать специализированные программы: Maple, Matlab, MathCad и т.д.

Качество приближения мы будем оценивать по величине достоверности аппроксимации R2. Чем ближе эта величина к 1 — тем лучше функция приближает тренд. Это верно не всегда, но в Excel нет других критериев оценки качества аппроксимации. Впрочем, критерия R2 нам будет достаточно.

На рисунках 4, 5, 6, 7 и 8и мы сделали аппроксимацию нашего тренда различными функциями и каждая функция аппроксимации продолжена на 12 точек вперед. И еще одна аппроксимация — на рисунке 9, полиномом 5-той степени. 

[[Image:1PP-5.JPG]] 

По рисункам мы видим, что значение R2 ближе всего к единице у параболы (полином 5-той степени уже не рассматриваем). Следующая по качеству аппроксимация — прямая линия. Хотя формально парабола аппроксимирует лучше всех, но ее поведение, особенно перевал в отдаленных точках, представляется не очень правдоподобным. Тогда можно взять аппроксимацию прямой, но мы найдем компромисс: среднее арифметическое между параболой и прямой. 

[[Image:1PP-6.JPG]] 

''Рис. 10. Тренд Mt и его прогноз. По оси X — номер периода.''

Результат прогноза тренда Mt — на рисунке 10. Итак, мы получили прогноз тренда. 

== Прогноз показателя ==

Прогноз тренда у нас есть. Теперь можно сделать прогноз самого показателя. Формула очевидна:

Ln(Yt+1) = 12 × Mt+1 – Ln(Yt) – Ln(Yt-1) – ... – Ln(Yt-10)

Yt+1 = exp(Ln(Yt+1))

До периода t = 19 у нас есть фактические данные. Для t = 20..31 у нас есть спрогнозированный тренд Mt, а значения показателя мы будем считать последовательно, сначала для t = 20, потом для t = 21 и т.д.

Результаты прогноза — на рисунке 11 и в таблице 2. 

[[Image:1PP-7.JPG]] 

''Рис. 11. Прогноз показателя. По оси X — номер периода.'' 

== Сравнение прогноза и реальных данных ==

На рисунке 12 — графики прогноза и фактических данных.

В таблице 3 приведено сравнение реальных данных и спрогнозированных. Посчитаны ошибки прогноза, абсолютные: Прогноз-Факт; и относительные: 100%*(Прогноз-Факт)/Факт.

Обратите внимание, что ошибки прогноза смещены в положительную сторону. Причина этого может быть как в несовершенстве метода, так и в каких-то объективных обстоятельствах, например, в изменении ситуации на рынке в прогнозируемом периоде. 

== Точность прогноза ==

Какую точность прогноза можно считать хорошей? Это во многом зависит от исходных данных и применяемой для прогноза модели. 

[[Image:1PP-8.JPG]] 

''Рис. 12. Фактические данные и спрогнозированные. По оси X — номер периода.''

Даже если модель очень хорошо описывает динамику реальных данных, что в общем-то большая редкость, то остаются еще шумы, которые вносят свою ошибку. Например, если уровень шума составляет 10% от значения показателя, то и ошибка прогноза будет не меньше 10%. Плюс, как минимум, еще несколько процентов ошибки добавятся из-за несоответствия модели и динамики реальных данных.

А вообще, лучший способ определить точность — это многократно делать прогнозы для одного и того же процесса и на основании такого опыта определять точность эмпирически. 

[[Image:1PP-9.JPG]] 

== Заключение и список литературы ==

В этой статье мы рассмотрели сильно упрощенный метод прогнозирования. Тем не менее, при отсутствии резких изменений на рынке и внутри компании, даже такой простой метод дает удовлетворительную точность прогноза месяцев на 10 вперед.

== Литература ==

1. Крамер Г. «Математические методы статистики».— М.: «Мир», 1975.

2. Кендэл М. «Временные ряды».— М.: «Финансы и статистика», 1981.

3. Андерсон Т. «Статистический анализ временных рядов».— М.: «Мир», 1976.

4. Бокс Дж., Дженкис Г. «Анализ временных рядов. Прогноз и управление».— М.: «Мир», 1976

5. Губанов В.А., Ковальджи А.К. «Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов. Экономика и математические методы». 2001. т. 37. № 1. С. 91-102. 

 

'''''                                                                                                                                                                                                          Автор - Александр Коренев'''''

'''''Данная публикация размещена в «Энциклопедии менеджера E-xecutive.ru» в рамках сотрудничества с проектом www.cfin.ru'''''

'''''На портале www.cfin.ru она расположена [http://www.cfin.ru/finanalysis/math/statistical_method.shtml здесь]''''' 

[[Category:Экономика]]

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 Помимо простоты у метода есть еще один важный плюс: для прогноза требуется небольшая статистика. Сделать прогноз на 2-3 месяца вперед можно, если есть статистика хотя бы за 13-14 месяцев. Ну а большая статистика дает возможность и прогноз делать на больший период.<br><br>
-== Сбор и подготовка статистики продаж ==
+== Сбор и подготовка статистики продаж  ==
 Прогнозирование начинается, конечно, со сбора статистики продаж. Здесь нужно обращать внимание на то, чтобы все сделки были более-менее одного «масштаба», и чтобы количество сделок в месяц было достаточно большое.
 Например, розничный магазин. Даже в небольшом магазине в месяц могут делаться тысячи и даже десятки тысяч покупок. Сумма каждой покупки, по сравнению с месячной выручкой, весьма мала — 0,0..01% от выручки. Это хорошая ситуация для прогнозирования.
 Если прогноз делается для компании, работающей на корпоративном рынке, то нужно следить, чтобы количество сделок в месяц было хотя бы не менее 100, иначе для прогнозирования нужно применять другие методы. Также, если в статистике продаж встречаются крупные сделки, с суммой, например, около 10% от месячной выручки, то такие сделки надо исключать из статистики и рассматривать отдельно (опять же другими методами). Если крупные сделки не исключить, то они создадут в динамике «выбросы», которые могут сильно ухудшить точность прогноза.
 Далее мы будем рассматривать пример со статистикой из таблицы 1. На рисунке 1 данные таблицы представлены в виде графика.
 По этим данным мы будем составлять прогноз на 12 месяцев вперед.
-''Таблица 1. Помесячная статистика прибыли, тыс. руб. Для удобства все месяцы (периоды) пронумерованы подряд, с 1-го по 19-тый.''<br>
+[[Image:1PP-1.JPG]]<br>
-[[Image:1PP-1.JPG]]<br>
+Существуют две основные модели временного ряда: аддитивная и мультипликативная. Формула аддитивной модели: Yt = Tt + St + et Формула мультипликативной модели: Yt = Tt x St + et Обозначения: t - время (месяц или другой период детализации); Y - значение величины; Т — тренд; S — сезонные изменения; е - шум. Разница между моделями хорошо видна на рисунке 2, где приведены два ряда, с одинаковыми трендами, один ряд — по мультипликативной модели, другой — по аддитивной.
-Существуют две основные модели временного ряда: аддитивная и мультипликативная. Формула аддитивной модели: Yt = Tt + St + et Формула мультипликативной модели: Yt = Tt x St + et Обозначения: t - время (месяц или другой период детализации); Y - значение величины; Т — тренд; S — сезонные изменения; е - шум. Разница между моделями хорошо видна на рисунке 2, где приведены два ряда, с одинаковыми трендами, один ряд — по мультипликативной модели, другой — по аддитивной.
+''Примечание. Могут встречаться такие показатели продаж, у которых сезонные колебания практически отсутствуют. ''<br>
-''Примечание. Могут встречаться такие показатели продаж, у которых сезонные колебания практически отсутствуют. ''<br>
+[[Image:1PP-2.JPG]]<br>
-[[Image:1PP-2.JPG]]<br>
+''Рис. 2. Примеры рядов: слева — по аддитивной модели; справа — по мультипликативной.''
-''Рис. 2. Примеры рядов: слева — по аддитивной модели; справа — по мультипликативной.''
+В нашем примере мы будем использовать мультипликативную модель.
-В нашем примере мы будем использовать мультипликативную модель.
+Для каких-либо других данных, возможно лучше подошла бы аддитивная модель. Узнать на практике, какая модель подходит лучше, можно либо интуитивно, либо методом проб и ошибок.<br>Выделение тренда
-Для каких-либо других данных, возможно лучше подошла бы аддитивная модель. Узнать на практике, какая модель подходит лучше, можно либо интуитивно, либо методом проб и ошибок.<br>Выделение тренда
+В формулах моделей рядов динамики '''(Yt = Tt + St + et и Yt = TtSt + et)''' фигурирует тренд Tt, такой тренд мы будем называть «точным».
-В формулах моделей рядов динамики '''(Yt = Tt + St + et и Yt = TtSt + et)''' фигурирует тренд Tt, такой тренд мы будем называть «точным».
+В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд Tt может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт [5] в списке литературы).
-В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд Tt может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт [5] в списке литературы).
+Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения приближенного тренда — сглаживание ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.
-Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения приближенного тренда — сглаживание ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.
+В рядах с детализацией по месяцам сглаживание нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего среднего с периодом сглаживания 12 месяцев: <br>
-В рядах с детализацией по месяцам сглаживание нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего среднего с периодом сглаживания 12 месяцев: <br>
+[[Image:1PP-3.JPG]]<br>
-[[Image:1PP-3.JPG]]<br>
+Где '''Mt''' — значение скользящего среднего в точке t; Yt — значение величины временного ряда в точке t.
 *''Примечание. Очень редко, но все-же бывают динамики продаж, где длина полного период не только не равна году, но и «плавает». В таких случаях колебания, видимо, вызваны не сезонными изменениями, а какими-то другими, более мощными факторами.''
 Обратите внимание: поскольку мы вычисляем некоторый средний тренд за последние 12 месяцев, то в поведении приближенного тренда по сравнению с точным, происходит как бы запаздывание на 6 месяцев. Не смотря на то, что тренд, полученный методом скользящего среднего — это не точный, а приближенный (да еще и с запаздыванием), он вполне подходит для нашей задачи.
 Прологарифмируем уравнение мультипликативной модели, и если шум et не очень большой, то получим аддитивную модель. <br>
 [[Image:1PP-4.JPG]]<br>
 ''Рис. 3. График прологарифмированной величины показателя и тренда Ми скользящего среднего по 12-ти месяцам. Слева на одном графике и величина и тренд. Справа — тренд в увеличенном масштабе. По оси X — номера периодов.''
 Примечание. Если темпы динамики небольшие, скажем, 10-15% в год, то и с мультипликативной моделью можно работать как с аддитивной (не логарифмирую).
 == Прогноз тренда ==